Родился в Тифлисе в купеческой семье.
В 1865 году был принят в число сторонних слушателей юридического факультета новооткрывшегося Новороссийского университета.Затем учился в Петербурге, окончив юридический факультет Санкт-Петербургского университета и Париже. Действительный член Французского общества изучения Азии; вёл курсы по религии и истории Востока в Русской высшей школе общественных наук в Париже.
После возвращения в Тбилиси, развернул активную просветительскую и благотворительную деятельность; В 1887—1894 годах был управляющим Тифлисского коммерческого банка. Вместе с Г. Тумановым и А. Калантаром открыл Высшие курсы кавказоведения и пригласил на работу за счёт собственных средств…
лучших преподавателей и профессоров. Кроме того, благодаря его денежным вложениям на посту руководителя Торгового дома, выполнявшего роль финансового учреждения для благоустройства города, в Тифлисе увеличилась количество училищ и благотворительных заведений.
После смерти жены и расстройства здоровья, он оставил службу и в 1900 году отправился за границу. Там он почти всё свое состояние потратил на приобретение редких и ценных книг в различных европейских странах. В результате кропотливого собирательного труда, М. Тамамшев стал обладателем одной из крупных частных библиотек, фонд которой составлял более 41 тысячи книг.
